1. Pilar Otonomi
Kami terutama fokus pada sistem otonom. Sistem dengan sifat bahwa $F$ dan $G$ dalam persamaan (1) tidak bergantung pada variabel bebas $t$ dikatakan otonom. Kemandirian ini memungkinkan kita menafsirkan lintasan sebagai jalur permanen dalam bidang fase yang tetap.
Untuk sistem otonom apa pun $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$, ada solusi unik yang memenuhi $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$. Dalam bidang fase, ini menjamin bahwa lintasan tidak pernah saling berpotongan; jalur ditentukan sepenuhnya oleh keadaan saat ini, bukan waktu ketika Anda tiba di sana.
2. Patokan Linier vs. Realitas Nonlinier
Dalam sistem linier $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$, titik asal biasanya merupakan satu-satunya titik seimbang, yang ditentukan oleh determinan $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ dan jejak. Namun, sistem nonlinier didefinisikan oleh titik kritis—lokasi di mana sisi kanan bernilai nol. Sebuah kesalahan besar jebakan adalah bahwa mungkin terdapat beberapa, atau banyak, titik kritis yang saling bersaing untuk memengaruhi lintasan.
Contoh: Ayunan Nonlinier
Berbeda dengan sistem pegas-massa linier yang memiliki periode konstan, periode $T$ ayunan nonlinier bergantung pada amplitudonya, dinyatakan melalui integral elips:
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. Stabilitas dan Visi Liapunov
Untuk menganalisis titik-titik ini tanpa menyelesaikan persamaan, kita menggunakan Fungsi Liapunov. Misalkan $V$ didefinisikan pada suatu domain $D$ yang mencakup titik asal. Maka $V$ dikatakan positif definit pada $D$ jika $V(0, 0) = 0$ dan $V(x, y) > 0$ untuk semua titik lain di dalam $D$.
Saat kita beralih ke 3D, kita menjumpai matriks Lorenz:
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$